Problemas

Duas equipes da 1º divisão terminaram um torneio de futebol empatadas em último lugar.Uma delas deverá ser rebaixada para 2º divisão,enquanto a outra permanecerá na divisão em está.O regulamento manda que a decisão seja pelo saldo de gols de cada equipe, permanecendo então a equipe que tiver melhor saldo. Se a equipe A tem -13e a equipe B -9 de saldo de gols, qual delas deverá ser rebaixada?

BIOGRAFIA DE GUSTAV THEODOR FECHNER

Fisico por formacao e filosofo por vocacao, Gustav Theodor Fechner nasceu em Gross Sarchen, Alemanha em 19 de abril de1801.Fechner nasceu em uma aldeia do sudeste da Alemanha onde seu pai era o ministro.
Fechner foi fisiologista por sete anos, fisico durante quinze, psicofisico por catorze,esteticista experimental durante onze filosofo por quarenta. Dentre esses empreendimentos, a obra de psicofisica foi a que lhe conferiu maior fama. Fechner foi um dos pioneiros da psicologia experimental e da propia psicologia.
A obra mais importante de Fechner, porem foi Elemente der Psychophysik {1860; Elementos de Psicofisica}.nesse livro estudou a relacao entre as sensacoes {psiquicas} e os estimulos {fisicos} que as originam e formulou a lei que estabelece essa relacao, batizada com seu nome. 
Fechner caiu numa depressao que duraram varios anos. tinha dificuldade para dormir, nao conseguia digerir alimentos {no entanto, nao tinha fome e o seu corpo estsva quase em estado de inanicao}. a doenca de Fechner pode ter tido natureza neurotica, hipotese sustentada pela maneira estranha como depois conseguiu a cura.
sua melhora no entanto durou pouco. cerca de seis meses depois, os sintomas pioraram a ponto de ele temer pela a propia sanidade, oucupou-se em tarefas mecanicas e rotineiras como forma de terapia ocupacional.
Fechner morreu em Leipzig em 18 de novembro de 1887. 

LOGARITMOS

Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.

Sendo:  , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.

Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade
Exemplo:

- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)

- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade
Exemplo:

Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça .

A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.

se, e somente se,

Onde b>0, e a>0

EXERCICIO DE LOG RESOLVIDOS

 

1. Resolver a equação 3^x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3^x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M₁ e M₂ os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M₁ = 50000(1 + 0,05)^t e M₂ = 45000(1 + 0,06)^t

Temos que determinar o tempo para que M₁ = M₂. Assim:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

PIADAS DE MATEMATICA

   E Na aula de matemática:
- Quantos dedos eu tenho nessa mão, Joãozinho?
- Cinco, professora!
- Se eu tirar três, o que acontece?
- A senhora fica aleijada!…

PIADA DE MATEMATICA

Naqueles tempos, Jesus disse aos seus apóstolos: - Irmãos, y = ax²+bx+c. Os apóstolos, confusos, perguntaram: - Mas, Senhor... O que é isso? Jesus disse: - É uma parábola!

PEGADINHA

Uma lesma está no fundo de um poço que tem 15 metros de profundidade, e quer sair dele. Como lesma é lesma, ela sobre 4 metros durante o dia, mas desce três durante a noite.
Pergunta: em quantos dias ela conseguirá sair do poço?
em 12 dias ela conseguirá sair do poço.
Subindo 4 metros por dia e descendo 3 à noite, no décimo primeiro dia já terá subido 11 metros.
Um dia depois, no décimo segundo dia, subindo mais 4 metros chegará à boca do poço (15 m) e não terá porquê continuar descendo.

PEGADINHA MATEMATICA

Há um ônibus com 7 garotas.
Cada garota tem 7 sacolas.
Dentro de cada sacola há sete gatos grandes.
Cada gato grande tem 7 gatos pequenos.
Todos os gatos têm 4 pernas cada um.
Pergunta: Quantas pernas há no ônibus?
Resposta: 10990
são 56 gatos por sacola
são 4 patas: 4×56= 224
são 7 sacolas: 224x 7=1568
são 7 garotas: 1568×7= 10976
cada garota tem 2 pernas: 2×7=14
então: 10976+14=10990
o resultado é: 10990

PIADA MATEMATICA

            APRENDENDO MATEMATICA
Joãozinho está indo muito mal em matemática. Os pais já tentaram de tudo: aulas particulares, brinquedos educativos, centros especializados, terapia, mas nada adiantou.
Certo dia, ao comentarem o problema com um amigo, este indica uma escola de freiras no bairro. Mesmo cansados de tantas tentativas, resolveram arriscar.
No primeiro dia, Joãozinho volta para casa com a cara séria e vai direto para o quarto, sem nem mesmo cumprimentar a mãe. Senta-se na escrivaninha e estuda sem parar. Na hora do jantar, Joãozinho come rapidamente e volta aos estudos.
A mãe fica pasma...
Isso se repetia dia após dia, até que chega o fim do bimestre e Joãozinho entrega o boletim à sua mãe. Encantada, ela observa a nota dez em matemática.
Sem se conter, ela pergunta:
— Filho, me diga o que fez você mudar deste jeito. Foram as freiras?
Joãozinho balança a cabeça negativamente.
— O que foi, então? — insiste a mãe — Foram os livros, a disciplina, a estrutura de ensino, o uniforme, os colegas? Me diz o que foi...
Joãozinho olha para a mãe e diz:
— Foi o medo, mãe. No primeiro dia, quando eu vi aquele cara pregado no sinal de mais, percebi que eles não estavam de brincadeira.

PROBLEMINHAS

o número 2916 é um número quadrado perfeito.qual é a raíz quadrada desse número?

[a]36
[b]44
[c]52
[d]54
[e]56

PROBLEMA DE MATEMATICA

 UMA PESQUISA CIENTIFICA DE BIOLOGIA REVELOU QUE UMA POPULAÇÃO INICIAL DE 1000 BACTÉRIAS AUMENTAVA, EM, MÉDIA,20% A CADA HORA. QUAL O NÚMERO DE BACTÉRIAS APÓS 3 HORAS?

MATEMATICA EM FOCO

OS NÚMEROS X E Y REPRESENTAM,RESPECTIVAMENTE,AS RAÍZES QUADRADAS EXATAS DOS NÚMEROS 51,84 E 40,96.ENTÃO X-Y VALE:

[A]0,08
[B]8
[C]1,8
[D]0,8
[E]2,8

ADIVINHE

Problema de idades

Tenho o quádruplo da idade que você tem. Daqui a 4 anos terei o triplo da sua idade. Quais são as nossas idades ?

EXERCICIOS RESOLVIDOS DE LOGARITMOS

No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.
Exercício 1: Se log_aba = 4, calcule:

Solução:
Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

log_aba = 4 => a = (ab)⁴ => a = a⁴b⁴ => b⁴ = 1/a³ => b = (1/a³)^1/4 = 1/a^3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)
Substituindo o valor de b em log_abb na expressão [1]:

A MATEMATICA

UMA EQUIPE A TEM SALDO NEGATIVO DE GOLS,ENQUANTO UMA EQUIPE B TEM SALDO NULO.QUAL DELAS TEM MAIOR SALDO?

MATEMATICA COM VC

 Caio tem 3600 reais na sua conta bancaria.Se ele fizer uma retirada de 4000 reais, como ficara o seu saldo?

NO COLEGIO JORGE AMADO EXISTEM 5 PROFESSORAS,USANDO VESTIDOS DE 5 CORES DIFERENTES.O SEU PROBLEMA É DESCOBRIR E ANOTAR  O NOME E A COR DO VESTIDO DE CADA UMA.PARA ISSO,VOCÊ TEM ALGUNS DADOS ,APRESENTADOS,A SEGUIR.VÁ LENDO CADA UM DELES COM ATENÇÃO,LEVANTE ALGUMAS HIPÓTESES E ESCREVA-AS,VERIFIQUE DEPOIS SE A SOLUÇÃO QUE VOCÊ ENCONTROU É ADEQUADA E ESCREVA A SOLUÇÃO EM FORMA DE TEXTO.

1-AS PROFESSORAS ESTÃO EM FILA.
2-A DE VESTIDO AMARELO ESTÁ ENTRE LÚCIA  E A DE VESTIDO VERMELHO.
3-VERA ESTÁ LOGO DEPOIS DA DE VESTIDO BRANCO.
4-A DE VESTIDO VERDE ESTÁ ENTRE A QUE VESTE AZUL E A TEREZINHA.
5-A DE VESTIDO BRANCO ESTÁ NUMA PONTA E LEDA ESTÁ NA OUTRA.
6-RITA ESTÁ ANTES DO VESTIDO AZUL.
7-TEREZINHA ESTÁ ENTRE O VESTIDO VERDE  E LEDA.
8-LÚCIA ESTÁ ENTRE VERA  E A QUE VESTE AMARELO.
9-DEPOIS DE LEDA NÃO HÁ NINGUÉM.

AI LOGARITMO

Ai os logaritmos!

“Ahh, claro que consigo! Basta aplicar logaritmos à lei do desvanecimento em função de H₀ e de t₀ e dá...

 H₀ = ln2 /t₀

É isso não é?”

Ficamos os três a olhar para a Luísa, surpreendidos com esta destreza matemática, nada usual em quem não é de ciências... nem mesmo em quem é...

“Luísa, explica-me lá o que estás a dizer, o que é isso dos logaritmos?”

“O logaritmo, Ana, é simplesmente a função inversa da exponencial. Se  y = e^x, então  x = ln(y). O logaritmo é o número a que se tem de elevar a «base» para obter o valor pretendido. O logaritmo é o expoente de uma potência.” Luísa fica à espera da reacção da Ana. “Continua, continua, estás a agradar”, responde esta com um sorriso sustentado.

trocando o eixo dos yy com o dos xx passa-se da exponencial para o logaritmo e vice-versa

“Por exemplo, considera o número 1000. Se quiseres escrever 1000 como uma potência de 10

“Isso mesmo: 3 é o logaritmo de 1000 na base 10! Acabaste de calcular um logaritmo de cabeça!”

“Eu?! Ena, estou verdadeiramente surpreendida”, retorquiu Ana piscando ambos os olhos.

“Então agora vê lá se consegues calcular este:”, o Mário entusiasmado, ele adora ensinar, ia lá agora perder uma oportunidade destas,

“Qual é o logaritmo de 8 na base 2?”

“Ai, meu Deus! Deixa lá ver... logaritmo é o expoente.. a base é 2... portanto, tu queres saber qual é o expoente que transforma 2 em 8...”

“É uma maneira de dizer ... ”

“Pois é 3, uma vez que 2³=8! O logaritmo de 8 na base 2 é 3!”

“Ana, os meus alunos universitários ficariam atrapalhados se eu lhes fizesse essa pergunta! Muito bem!” Mário endireitou-se na cadeira, parece-me que para tentar entender melhor como era possível que Ana tivesse entendido tão depressa o conceito de logaritmo. Decido concluir a «lição»:

“Agora que estás uma mestra em logaritmos, deixa-me dizer-te uma pequena coisa em relação à notação. Logaritmo de 8 na base 2 escreve-se:

log₂ (8)=3

Esta é a forma geral de designar os logaritmos. Mas normalmente os logaritmos que se usam são os de base 10 e os de base «e»; então, a notação para estes é simplificada, escrevendo-se:

«log» para log₁₀

«ln» para log_e.

Quando a Luísa escreveu «ln2» significa logaritmo de 2 na base «e», que vale aproximadamente 0,69. ”

Ana ouve-me com ar atento e começa a escrevinhar qualquer coisa num papel, aguardamos em silêncio, até que exclama: “Não consigo perceber como é que a Luísa concluiu que H₀=ln2 /t₀ ...”

“Bem, só te dei a definição do logaritmo... há umas propriedades que ajudam nestas contas... por exemplo, se notares que 2= e ^ln2... ou que ln(e^x) = x ...”

Ana volta a escrevinhar. Está tão decidida que ficamos todos suspensos. “Ah, já percebi!! pronto, podemos passar adiante!”, o ar decidido da Ana contrasta com o ar algo surpreendido dos outros, noto especialmente como mudou a opinião do Mário sobre elas, pois tem agora estampada na cara a admiração que a facilidade em matemática da Luísa e da Ana lhe causaram. Luísa deve ter percebido porque começa a dizer “aprender matemática é como aprender uma língua.. mais simples até, é quase um jogo...” Mário reage prontamente:

“Portanto, só temos agora de entrar com o valor de H₀ para obter o valor da semivida da matéria.”

“Sim Mário, mas qual das duas gamas de valores vais usar?”

“Duas gamas?? De que estás a falar?”

“Estou a perguntar se pretendes usar o valor de H₀ actualmente aceite, que tem a curiosa propriedade de implicar que a idade do Universo é talvez menor do que a estimada para as estrelas mais antigas, como as dos aglomerados globulares da nossa galáxia, ou se preferes o valor mais modesto anteriormente calculado por Allan Sandage.”

 Uma equipe de voleibol tem 6 jogadores titulares e 6 jogadores reservas. Três desses jogadores tem 20 anos, dois jogadores tem 26 anos, dois tem 23 anos e os demais tem 21 anos,24 anos ,25 anos, 27 anos e 30 anos. qual é a média dos jogadores dessa equipe?

DESCUBRA

Ari, bruna e carlos almocao juntos todos os dias e cada um deles pede agua ou suco.
* se ari pede a mesma bebida que carlos, entao bruna pede agua.
*se ari pede uma bebida diferente da de bruna, entao carlos pede suco.
*se bruna pede uma bebida diferente da de carlos, entao ari pede agua.
*apenas um deles sempre pede a mesma bebida.
Quem pede sempre a mesma bebida e que bebida e essa?
[a]Ari;agua
[b]Bruna;agua
[c]Carlos;suco
[d]Bruna;suco

cada quadrinho na figura deve ser preenchido com um sinal de adicao ou de multiplicacao. qual e o maior valor possivel da expressao obtida depois de preenchidos todos quadrinhos?
    2[ ] 3[ ] 0[ ] 8 [ ] 9 [ ] 1

[a]77
[b]78
[c]79
[d]80
[e]81

Day e gisa bricam de escrever numeros no quadro. a bricadeira comeca com cada uma delas escrevendo um numero natural. depois disso:
*quem tiver o menor numero mantem esse numero.
*quem tiver escrito o maior numero troca-o pela a difereca entre seu numero e o numero da outra.
elas repetem esse procedimento ate que esses dois numeros fiquem iguais. se day comecou escrevendo 100 e gisa 88, qual o numero que vai ficar escrito no quadro no final da brincadeira?
[a]2
[b]4
[c]6
[d]8
[e]10
Tente responder.